(Simmons, 1c, pag. 103) Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução particular de y^prime prime+10 y^prime+25 y=14 e^-5 x. Resposta: yp(x)=7 x^2 e^-5 x.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 10y' +25y = 14e^-5x
e pede que a gente use o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients).

Passo 2

Começamos pela equação homogênea
y'' + 10y' +25y = 0
A equação característica é
r^2 + 10r +25 = 0
que fatoriza em (r+5)^2=0. Há, portanto, raiz dupla r=-5, e a solução homogênea é
yh(x)=C1e^-5x+C2,x e^-5x

Passo 3

O termo não homogêneo é 14e^-5x e a raiz -5 tem multiplicidade 2, então multiplicamos a forma usual pela potência x^2. Assim, supomos
yp(x)=A x^2 e^-5x,
com A constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp. Primeiro,
yp'(x) = Addxl(x^2e^-5xr) = Al(2x e^-5x-5x^2e^-5xr) = A e^-5x(2x-5x^2)
Em seguida,
yp''(x) = Addxl[e^-5x(2x-5x^2)r] = A e^-5xl[(2-10x)-5(2x-5x^2)r] = A e^-5x(2-20x+25x^2)

Passo 5

Substituindo na equação original:
yp''+10yp'+25yp = A e^-5xl[(2-20x+25x^2)+(20x-50x^2)+25x^2r] = 2A,e^-5x
Para que isso seja 14e^-5x precisamos de
2A=14 Longrightarrow A=7

Resposta

yp(x)=7x^2e^-5x

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