(Simmons, 1e, pag. 103) Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução particular de y^prime prime-y^prime-6 y=20 e^-2 x. Resposta: yp(x)=-4 t e^-2 x.

Passo 1

O enunciado pede a solução particular da EDO
y'' - y' - 6y = 20 e^-2x
pelo método dos coeficientes a determinar. Para isso precisamos (i) achar a solução homogênea e verificar se há ressonância com o termo forçante e (ii) propor um ansatz adequado para yp.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - y' - 6y = 0
A equação característica é
lambda^2 - lambda - 6 = 0
com raízes lambda=3 e lambda=-2. Portanto
yh(x) = C1 e^3x + C2 e^-2x

Passo 3

O termo forçante é 20e^-2x. Como e^-2x já aparece em yh (resonância de ordem 1), multiplicamos por x. Logo escolhemos
yp(x) = A,x,e^-2x

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = A,e^-2x - 2A,x,e^-2x,
yp'' = -2A,e^-2x -2A,e^-2x +4A,x,e^-2x = -4A,e^-2x +4A,x,e^-2x

Passo 5

Substituindo em y''-y'-6y:
yp'' - yp' -6yp = l(-4A e^-2x +4A x e^-2xr) -l(A e^-2x -2A x e^-2xr) -6l(A x e^-2xr)
Agrupando termos:
(-4A - A)e^-2x + (4A +2A -6A)x,e^-2x = -5A,e^-2x
Queremos isso igual a 20e^-2x. Então -5A = 20, ou seja A = -4.

Passo 6

Com A=-4, a solução particular fica
yp(x) = -4,x,e^-2x

Resposta

yp(x) = -4,x,e^-2x

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