(Simmons, 1f, pag. 103) Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução particular de y^prime prime-3 y^prime+2 y=14 sen 2 x- 18 cos 2 x. Resposta: yp(x)=2 sen 2 x+3 cos 2 x.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método dos coeficientes a determinar na EDO
y'' - 3y' + 2y = 14sin2x - 18cos2x
para encontrar uma solução particular yp(x). Como a parte homogênea tem raízes r=1,2, não há ressonância com termos de frequência 2, então podemos tentar um ansatz trigonométrico.

Passo 2

Suponha uma solução particular da forma
yp = Asin(2x) + Bcos(2x)
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Calcule as derivadas necessárias:
yp' = 2Acos(2x) ;-;2Bsin(2x),
yp'' = -4Asin(2x);-;4Bcos(2x)

Passo 4

Substitua em y''-3y'+2y:
yp''-3yp'+2yp =(-4Asin2x-4Bcos2x) -3l(2Acos2x-2Bsin2xr) +2l(Asin2x+Bcos2xr)
Agrupando os senos e cossenos, obtém-se
yp''-3yp'+2yp =( -2A + 6B)sin2x +(-6A -2B)cos2x

Passo 5

Iguale aos termos da EDO não-homogênea:
-2A + 6B = 14, -6A - 2B = -18
Da primeira equação vem A=3B-7. Substituindo na segunda:
-6(3B-7)-2B=-18 ;Longrightarrow;-18B+42-2B=-18 ;Longrightarrow;-20B=-60 ;Longrightarrow;B=3,
logo A=3cdot3-7=2.

Resposta

yp(x)=2sin(2x)+3cos(2x)

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