Seja f a função definida por:
f(x)=lll 3-x & se & x<2 x2+1 & se & x>2
(a) Faça um esboço do gráfico de f.
(b) Determine lim x 2^+ f(x) e lim x 2^- f(x).
(c) Existe lim x 2 f(x) ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes
f(x)= 3 - x, & x<2, dfracx2 + 1, & x>2,
e pede (a) o esboço do gráfico, (b) os limites laterais em x=2 e (c) se existe o limite em x=2. O conteúdo envolve compreensão de funções piecewise e definição de limite lateral.

Passo 2

Para esboçar f:
– Para x<2, f(x)=3 - x é uma reta de coeficiente angular -1 e intercepto em y=3. Em x=2 essa reta atinge y=3-2=1, mas como a definição vale apenas para x<2, marcamos um círculo aberto em (2,1).
– Para x>2, f(x)=tfracx2+1 é uma reta de coeficiente angular tfrac12 e intercepto em y=1. Em x=2 essa reta vale tfrac22+1=2, mas só vale para x>2, então marcamos um círculo aberto em (2,2).

Passo 3

Calcular os limites laterais:
limxto2^-f(x)=limxto2^-(3-x)=3-2=1,
limxto2^+f(x)=limxto2^+l(tfracx2+1r)=tfrac22+1=2

Passo 4

Para que limxto2f(x) exista, é preciso que
limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x)
Como 1neq2, esses limites diferem e, portanto, o limite em x=2 não existe.

Resposta

(a) Gráfico: reta decrescente 3-x até x=2 com círculo aberto em (2,1) e reta crescente tfracx2+1 após x=2 com círculo aberto em (2,2).
(b) limxto2^-f(x)=1 e limxto2^+f(x)=2.
(c) Não existe limxto2f(x) porque os limites laterais são diferentes.

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