Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n{n}}{10{n}}

Passo 1

O enunciado pede para a série sumn=1^inftyn^n10^n ser classificada: em (a) como convergente, condicionalmente convergente ou divergente (séries com termos positivos ou negativos) e em (b) se, sendo de termos positivos, converge ou diverge. Vamos usar o teste da razão, que é indicado para séries cujo termo-geral envolve fatoriais, potências com n no expoente ou produtos parecidos.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, considere o termo-geral an=n^n10^n. Calculamos
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty(n+1)^n+1/10^n+1n^n/10^n

Passo 3

Separe as potências de n e de 10:
L=limntoinfty(n+1)^n+1n^ncdot110 =limntoinfty(n+1n)^ncdotn+110

Passo 4

Reescrevendo (1+1/n)^n e observando que n+1sim n quando ntoinfty:
L=limntoinftyl(1+1nr)^ncdotn+110 = ecdotlimntoinftyn+110 = ecdotinfty =infty

Passo 5

Como L=infty>1, o teste da razão conclui que a série diverge.

Passo 6

Portanto, não há convergência absoluta nem condicional: ela é divergente no caso geral e também diverge sendo de termos positivos.

Resposta

(a) Divergente; (b) Divergente.

Exercícios relacionados