Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=1, onde t & , em[0,1) 1 & , em[1, infty)$

Passo 1

O problema é um valor inicial para a EDO \ y’’ + y = f(t) com condições y(0)=0 e y’(0)=1, e a força f(t) é dada por um pedaço linear em [0,1) e constante em [1,∞). Vamos usar o princípio de superposição: primeiro resolvemos em [0,1), depois em [1,∞), casando as condições de contorno em t=1.

Passo 2

Na região 0 ≤ t < 1 temos f(t)=t. A EDO é não homogênea, então procuramos y(t)=y_h(t)+y_p(t). A parte homogênea satisfaz y_h’’+y_h=0, cuja solução geral é y_h=C_1\cos t + C_2\sin t. Para uma particular usamos o chute y_p = A t + B. Substituindo em y’’+y=t dá 0 + (A t + B)=t, logo A=1 e B=0. Assim
y1(t)=C1cos t + C2sin t + t

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais em t=0: y_1(0)=C_1+0+0=0 ⇒ C_1=0; y_1’(t)=-C_1\sin t + C_2\cos t +1 ⇒ y_1’(0)=C_2+1=1 ⇒ C_2=0. Portanto
y1(t)=t, 0<= t<1

Passo 4

Em t=1 temos y(1^-)=1 e y’(1^-)=1. Agora para t≥1 f(t)=1. De novo y=y_h+y_p, com y_p igual à constante 1 porque y_p’’+y_p=1. Assim
y2(t)=Acos t + Bsin t +1

Passo 5

As condições de continuidade em t=1 exigem y_2(1)=1 e y_2’(1)=1. Escrevendo:
Acos1 + Bsin1 +1=1 ⇒ Acos1 + Bsin1=0,
-Asin1 + Bcos1=1

Passo 6

Esse sistema tem solução A=-\sin1 e B=\cos1, de onde
y2(t)=-sin1cos t + cos1sin t +1 = 1+sin(t-1), t>=1

Passo 7

Juntando as duas regiões, temos a solução global em partes.

Resposta

y(t)= t,&0<= t<1,1+sin(t-1),&t>=1

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