Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
1+\frac{1 \cdot 3}{2!}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3!}+···+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}{n!}+···

Passo 1

O exercício apresenta a série de termos positivos
1 + 1cdot32! + 1cdot3cdot53! + cdots + 1cdot3cdot5cdots(2n-1)n! + cdots
e pede para decidir se ela é convergente, condicionalmente convergente ou divergente (parte a) e, sendo de termos positivos, se converge ou diverge (parte b). Para isso vamos usar o teste da razão, que é um método padrão para séries de termos positivos.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, definimos o termo geral
an = 1cdot3cdot5cdots(2n-1)n!
Então calculamos
an+1an = 1cdot3cdots(2n-1),(2n+1)/(n+1)!l(1cdot3cdots(2n-1)r)/n! = 2n+1n+1

Passo 3

Tomando limite quando ntoinfty temos
L = limntoinftyan+1an = limntoinfty2n+1n+1 = 2
Como L>1, o teste da razão nos diz que a série diverge.

Passo 4

Portanto, não há convergência nem condicional nem absoluta: a série diverge. E sendo de termos positivos, ela diverge sem mais classificação.

Resposta

(a) Divergente. (b) Divergente.

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