Nos exercícios a seguir encontre os pontos críticos de cada função e determine se ele é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela.
7.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função de duas variáveis . O objetivo é achar os pontos críticos (onde ) e decidir se cada um é mínimo local, máximo local ou ponto de sela. Vamos usar derivadas parciais, a matriz Hessiana e, se necessário, análise em direções.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais: e . Igualando a zero, obtemos
Logo, há um único ponto crítico em .
Passo 3
Construir a matriz Hessiana:
Em (0,0) temos
fxx(0,0)=0, fyy(0,0)=0, fxy(0,0)=0
O determinante é D = fxxfyy - (fxy)^2 = 0
Como D=0, o teste da segunda derivada é inconclusivo.
Passo 4
Para classificar, analisamos cortes da função em direções especiais. No eixo y=0 temos
f(x,0)=1 - x^4,
que fica sempre <=1 para x pequeno, mostrando que em direções ao longo do eixo x, f diminui a partir de (0,0).
Passo 5
No eixo x=0 temos
f(0,y)=1 - 3y^3
Para y>0, f(0,y)<1; mas para y<0, f(0,y)>1. Logo, em algumas direções f fica abaixo de f(0,0) e em outras acima, caracterizando um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é (0,0) e ele é um ponto de sela.