Nos exercícios a seguir encontre os pontos críticos de cada função e determine se ele é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela.
7. f(x, y)=1-x^4-3 y^3

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função de duas variáveis f(x,y)=1 - x^4 - 3y^3. O objetivo é achar os pontos críticos (onde nabla f=0) e decidir se cada um é mínimo local, máximo local ou ponto de sela. Vamos usar derivadas parciais, a matriz Hessiana e, se necessário, análise em direções.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais: fx = partial fpartial x = -4x^3 e fy = partial fpartial y = -9y^2. Igualando a zero, obtemos
-4x^3 = 0 Rightarrow x=0,
-9y^2 = 0 Rightarrow y=0
Logo, há um único ponto crítico em (0,0).

Passo 3

Construir a matriz Hessiana:
Hf(x,y)= fxx & fxy fyx & fyy = -12x^2 & 0 0 & -18y
Em (0,0) temos
fxx(0,0)=0, fyy(0,0)=0, fxy(0,0)=0
O determinante é
D = fxxfyy - (fxy)^2 = 0
Como D=0, o teste da segunda derivada é inconclusivo.

Passo 4

Para classificar, analisamos cortes da função em direções especiais. No eixo y=0 temos
f(x,0)=1 - x^4,
que fica sempre <=1 para x pequeno, mostrando que em direções ao longo do eixo x, f diminui a partir de (0,0).

Passo 5

No eixo x=0 temos
f(0,y)=1 - 3y^3
Para y>0, f(0,y)<1; mas para y<0, f(0,y)>1. Logo, em algumas direções f fica abaixo de f(0,0) e em outras acima, caracterizando um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0) e ele é um ponto de sela.

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