Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5{n}}{n\left(3{n+1}\right)}

Passo 1

O exercício pede para analisar a série sumn=1^infty 5^nn,3^n+1. O conteúdo aqui é testes de convergência para séries de termos positivos; vamos precisar do teste da razão.

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral e simplificamos:
an = 5^nn,3^n+1 = 13;(5/3)^nn
Como todos os termos são positivos, podemos aplicar diretamente o teste da razão.

Passo 3

No teste da razão, calculamos
an+1an = 5^n+1(n+1)3^n+25^nn3^n+1 = 53;nn+1
Agora tomamos o limite quando n to infty:
L = limntoinfty an+1an = 53 > 1

Passo 4

Como o limite L>1, o teste da razão garante que a série diverge. Portanto não há convergência absoluta nem condicional.

Resposta

a) divergente; b) divergente.

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