Use a transformada de Laplace para calcular as integrais abaixo:
integral0^infty t^3 e^-t sen t d t

Passo 1

A questão pede para calcular integral0^infty t^3 e^-t sin t ,dt usando transformada de Laplace. O conteúdo principal é a propriedade que relaciona Lt^n f(t) com derivadas em relação a s.

Passo 2

Começamos lembrando que a transformada de Laplace de sin t é F(s)=dfrac1s^2+1 e que vale a propriedade
Lt^n f(t)(s)=(-1)^nd^nd s^nF(s)

Passo 3

No nosso caso, n=3 e f(t)=sin t. Logo
Lt^3sin t(s) = -d^3ds^3l(1s^2+1r)
Como a integral tem e^-t, avaliamos essa transformada em s=1:
I = integral0^infty t^3 e^-tsin t,dt = Lt^3sin t(1) = -d^3ds^3l(1s^2+1r)|s=1

Passo 4

Definindo G(s)=dfrac1s^2+1, calculamos as derivadas:
G'(s) = -2s(s^2+1)^2,
G''(s)=2(3s^2-1)(s^2+1)^3,
G'''(s)=24s(1-s^2)(s^2+1)^4

Passo 5

Substituindo em I = -G'''(1):
I = -24cdot1,(1-1^2)(1^2+1)^4 = -24cdot016 = 0

Resposta

0

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