Se
e
, determine $f(g(x, y), k(x, y)).
Passo 1
Neste exercício temos as funções de duas variáveis
f(u,v)=u v−3u+v,
g(x,y)=x−2y
k(x,y)=2x+y
O conteúdo aqui é composição de funções de várias variáveis, e vamos precisar aplicar a definição de f substituindo u=g(x,y) e v=k(x,y).
f(u,v)=u v−3u+v,
g(x,y)=x−2y
k(x,y)=2x+y
O conteúdo aqui é composição de funções de várias variáveis, e vamos precisar aplicar a definição de f substituindo u=g(x,y) e v=k(x,y).
Passo 2
Começamos escrevendo f(g(x,y),k(x,y)) diretamente a partir da definição de f:
Passo 3
Agora calculamos o produto g(x,y)·k(x,y). Temos:
Vamos expandir passo a passo:
$$=x\cdot2x + x\cdot y -2y\cdot2x -2y\cdot y\
=2x^2 + xy -4xy -2y^2\
=2x^2 -3xy -2y^2$$
Passo 4
Por fim somamos todos os termos de f(g,k): substituímos o produto e adicionamos -3g(x,y)+k(x,y):
Distribuindo e agrupando termos semelhantes:
$$=2x^2 -3xy -2y^2 -3x +6y +2x +y\
=2x^2 -3xy -2y^2 -x +7y$$
Passo 5
A expressão acima é o valor de f(g(x,y),k(x,y)).
Resposta
f(g(x,y),k(x,y)) = 2x^2 - 3xy - 2y^2 - x + 7y