Se f(u, v)=u v-3 u+v, g(x, y)=x-2 y e k(x, y)=2 x+y, determine $f(g(x, y), k(x, y)).

Passo 1

Neste exercício temos as funções de duas variáveis
f(u,v)=u v−3u+v,
g(x,y)=x−2y
k(x,y)=2x+y
O conteúdo aqui é composição de funções de várias variáveis, e vamos precisar aplicar a definição de f substituindo u=g(x,y) e v=k(x,y).

Passo 2

Começamos escrevendo f(g(x,y),k(x,y)) diretamente a partir da definição de f:
f(g(x,y),k(x,y))=g(x,y)cdot k(x,y) -3,g(x,y) + k(x,y)

Passo 3

Agora calculamos o produto g(x,y)·k(x,y). Temos:
g(x,y)cdot k(x,y)=(x-2y),(2x+y)
Vamos expandir passo a passo:
$$=x\cdot2x + x\cdot y -2y\cdot2x -2y\cdot y\
=2x^2 + xy -4xy -2y^2\
=2x^2 -3xy -2y^2$$

Passo 4

Por fim somamos todos os termos de f(g,k): substituímos o produto e adicionamos -3g(x,y)+k(x,y):
f(g,k)=l(2x^2 -3xy -2y^2r) -3(x-2y) + (2x+y)
Distribuindo e agrupando termos semelhantes:
$$=2x^2 -3xy -2y^2 -3x +6y +2x +y\
=2x^2 -3xy -2y^2 -x +7y$$

Passo 5

A expressão acima é o valor de f(g(x,y),k(x,y)).

Resposta

f(g(x,y),k(x,y)) = 2x^2 - 3xy - 2y^2 - x + 7y

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