Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{100^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série sumn=1^infty 100^nn!. O conteúdo é teoria de séries numéricas, mais especificamente séries de termos positivos e testes de convergência. Vamos usar o teste da razão para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Como todos os termos an=100^nn! são positivos, podemos aplicar o teste da razão. Calculamos:
L=limntoinftyan+1an =limntoinfty100^n+1/(n+1)!100^n/n! =limntoinfty100cdot100^n,n!(n+1)!,100^n =limntoinfty100n+1 =0

Passo 3

O resultado L=0 satisfaz L<1, então a série converge absolutamente pelo teste da razão.

Passo 4

Como a série converge absolutamente, ela converge na acepção usual (não há questão de convergência condicional) e, sendo de termos positivos, ela é convergente no sentido da parte (b).

Resposta

(a) Convergente (converge absolutamente). (b) Convergente.

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