Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a série alternante
. O conteúdo envolve teste de Leibniz para séries alternantes e teste de comparação com p-série para verificar convergência absoluta. Precisamos classificar (a) a alternante e (b) a série de termos positivos.
Passo 2
Analisamos o comportamento do termo geral
. Calculamos
o que é requisito para o teste de Leibniz.
Passo 3
Verificamos que
é decrescente para
. Por exemplo, considere a função
; sua derivada para
satisfaz
. Logo,
.
Passo 4
Pelo teste de Leibniz, como
,
, a série alternante
converge.
Passo 5
Para verificar convergência absoluta, estudamos
Passo 6
Usamos comparação limite com a p-série
:
Passo 7
Como
converge (p=3/2>1), segue que
converge. Portanto a alternante converge absolutamente.
Resposta
(a) Converge absolutamente (logo é convergente). (b) A série de termos positivos
também converge.