Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série alternante sumn=1^infty(-1)^n-1,raiznn^2+1. O conteúdo envolve teste de Leibniz para séries alternantes e teste de comparação com p-série para verificar convergência absoluta. Precisamos classificar (a) a alternante e (b) a série de termos positivos.

Passo 2

Analisamos o comportamento do termo geral an=dfracraiznn^2+1. Calculamos
limntoinftyan=limntoinftyraiznn^2+1=0,
o que é requisito para o teste de Leibniz.

Passo 3

Verificamos que an é decrescente para n>=1. Por exemplo, considere a função f(x)=dfracraizxx^2+1; sua derivada para x>=1 satisfaz f'(x)<0. Logo, an+1<= an.

Passo 4

Pelo teste de Leibniz, como an>0, ansearrow0, a série alternante sum(-1)^n-1an converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, estudamos
sumn=1^infty an=sumn=1^inftyraiznn^2+1

Passo 6

Usamos comparação limite com a p-série sum1/n^3/2:
limntoinftyraiznn^2+11n^3/2=limntoinftyn^2n^2+1=1

Passo 7

Como sum1/n^3/2 converge (p=3/2>1), segue que sum an converge. Portanto a alternante converge absolutamente.

Resposta

(a) Converge absolutamente (logo é convergente). (b) A série de termos positivos sumraiznn^2+1 também converge.

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