Use a transformada de Laplace para calcular as integrais abaixo:
integral0^infty e^-t sen tt d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^infty e^-tsin tt,dt usando transformada de Laplace. Vamos tratar essa integral como uma função de parâmetro a>0 e usar propriedades de Laplace e diferenciação sob o sinal de integral.

Passo 2

Definimos a integral paramétrica
I(a)=integral0^infty e^-a tsin tt,dt,
com o objetivo de obter I(1) ao final.

Passo 3

Diferenciando I(a) em relação a a e trocando derivada com integral (justificado pela convergência uniforme), temos
I'(a)=ddaintegral0^inftye^-a tsin tt,dt=-integral0^inftye^-a tsin t,dt

Passo 4

Reconhecemos que integral0^inftye^-a tsin t,dt é a transformada de Laplace de sin t, dada por Lsin t(a)=tfrac1a^2+1. Logo,
I'(a)=-1a^2+1

Passo 5

Para recuperar I(a), integramos em a:
I(a)=-integral1a^2+1,da=-arctan(a)+C
Agora precisamos determinar a constante C.

Passo 6

Usamos o limite quando atoinfty. Como e^-a tto0 para todo t>0, segue I(a)to0. Portanto,
0=I(infty)=-arctan(infty)+C=-pi2+C implies C=pi2
Assim,
I(a)=pi2-arctan(a)

Passo 7

Finalmente, para a=1 temos
I(1)=integral0^inftye^-tsin tt,dt=pi2-arctan(1)=pi2-pi4=pi4

Resposta

pi4

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