Use a transformada de Laplace para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando transformada de Laplace. Vamos tratar essa integral como uma função de parâmetro
e usar propriedades de Laplace e diferenciação sob o sinal de integral.
Passo 2
Definimos a integral paramétrica
com o objetivo de obter
ao final.
Passo 3
Diferenciando
em relação a
e trocando derivada com integral (justificado pela convergência uniforme), temos
Passo 4
Reconhecemos que
é a transformada de Laplace de
, dada por
. Logo,
Passo 5
Para recuperar
, integramos em
:
Agora precisamos determinar a constante
.
Passo 6
Usamos o limite quando
. Como
para todo
, segue
. Portanto,
Assim,
Passo 7
Finalmente, para
temos