Nos exercícios a seguir encontre os pontos críticos de cada função e determine se ele é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela.
9. f(x, y)=|x|+|y|

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=|x|+|y| e queremos achar seus pontos críticos (onde o gradiente é zero ou não existe) e classificar cada um como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

Em regiões onde x≠0 e y≠0 (cada quadrante), f é diferenciável e temos as derivadas parciais: ∂f/∂x=sign(x) e ∂f/∂y=sign(y). Como sign(x) e sign(y) assumem ±1, o gradiente nunca é zero nesses pontos, logo não há pontos críticos no interior dos quadrantes.
Os únicos lugares em que f não é diferenciável são as retas x=0 e y=0. Nesses locais as derivadas parciais não estão definidas de forma única, sendo portanto candidatos a pontos críticos.

Passo 3

Tomemos um ponto qualquer sobre o eixo x (y=0, x≠0) ou sobre o eixo y (x=0, y≠0). Por exemplo, em (0,y₀) com y₀≠0, podemos deslocar na direção y para diminuir f e na direção x para aumentar f: há direções de subida e de descida, o que caracteriza ponto de sela.

Passo 4

No caso especial (0,0), temos f(x,y)≥0 para todo (x,y) e f(0,0)=0. Qualquer vizinhança de (0,0) só atinge valores maiores ou iguais a zero, logo (0,0) é um mínimo local.

Passo 5

Concluímos que todos os pontos em que x=0 ou y=0 são críticos, mas apenas (0,0) é mínimo local; todos os demais pontos dos eixos são pontos de sela.

Resposta

Pontos críticos: todas as retas x=0 ou y=0. Desses, (0,0) é um mínimo local e os demais (eixo x ou eixo y, exceto a origem) são pontos de sela.

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