Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{n{2}+1}{n{3}+1}
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{n{2}+1}{n{3}+1}
Passo 1
O enunciado pede em (a) classificar a série alternante
como convergente condicional ou divergente, e em (b) verificar a convergência da série de termos positivos
. Para isso vamos usar o critério de Leibniz para séries alternantes e o critério de comparação assintótica para séries de termos positivos.
Passo 2
Chamando
, temos
. Além disso,
pois o grau do denominador é maior que o do numerador. E para
grande,
é decrescente (pode-se verificar que a derivada de
é negativa). Logo, estão satisfeitas as hipóteses do critério de Leibniz.
Passo 3
Pelo critério de Leibniz, a série alternante
converge.
Passo 4
Para verificar a convergência absoluta, consideramos
. Observamos que
pois
. Como a série harmônica
diverge, por comparação-limite
também diverge.
Passo 5
Dessa forma a série alternante converge mas não converge absolutamente, isto é, converge condicionalmente. E a série de termos positivos
diverge.
Resposta
(a) Converge condicionalmente. (b) Diverge.