Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{n{2}+1}{n{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede em (a) classificar a série alternante sumn=1^infty (-1)^n n^2+1n^3+1 como convergente condicional ou divergente, e em (b) verificar a convergência da série de termos positivos sumn=1^infty n^2+1n^3+1. Para isso vamos usar o critério de Leibniz para séries alternantes e o critério de comparação assintótica para séries de termos positivos.

Passo 2

Chamando bn = n^2+1n^3+1, temos bn>0. Além disso, limntoinftybn = 0 pois o grau do denominador é maior que o do numerador. E para n grande, bn é decrescente (pode-se verificar que a derivada de f(x)=x^2+1x^3+1 é negativa). Logo, estão satisfeitas as hipóteses do critério de Leibniz.

Passo 3

Pelo critério de Leibniz, a série alternante sumn=1^infty (-1)^n bn converge.

Passo 4

Para verificar a convergência absoluta, consideramos sumn=1^infty bn. Observamos que bnsim1n pois limntoinftybn1/n=limntoinftyn(n^2+1)n^3+1=1. Como a série harmônica sum1/n diverge, por comparação-limite sum bn também diverge.

Passo 5

Dessa forma a série alternante converge mas não converge absolutamente, isto é, converge condicionalmente. E a série de termos positivos sumn=1^infty bn diverge.

Resposta

(a) Converge condicionalmente. (b) Diverge.

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