Nos exercícios seguintes encontre os valores extremos de f em D subset R^2
12.

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos encontrar os valores extremos (máximo e mínimo absolutos) da função f(x,y)=2sin x+3cos y num domínio fechado e limitado em R^2, dado por . O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em domínio compacto, e vamos precisar usar gradiente para pontos interiores e analisar as fronteiras.

Passo 2

Para achar pontos críticos interiores, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Temos
partial fpartial x=2cos x=0
partial fpartial y=-3sin y=0
Isso dá cos x=0Rightarrow x=tfracpi2 e sin y=0Rightarrow y=0. Logo, ponto crítico interior em (x,y)=(tfracpi2,0), com
fl(tfracpi2,0r)=2cdot1+3cdot1=5

Passo 3

Análise das fronteiras para x=0 e x=pi: nesses casos
f(0,y)=2sin0+3cos y=3cos y,
f(pi,y)=2sinpi+3cos y=3cos y,
com yin[-tfracpi2,tfracpi2]. A função 3cos y atinge seu máximo quando cos y=1 (isto é, y=0), valor 3, e mínimo quando cos y=0 (isto é, y=pmtfracpi2), valor 0.

Passo 4

Análise das fronteiras para y=tfracpi2 e y=-tfracpi2: nesses casos
f(x,pmtfracpi2)=2sin x+3cos(pmtfracpi2)=2sin x,
com xin[0,pi]. A função 2sin x atinge máximo 2 em x=tfracpi2 e mínimo 0 em x=0 ou x=pi.

Passo 5

Comparação dos valores obtidos: candidatos são
f=5 em (tfracpi2,0),
f=3 em (0,0) e (pi,0),
f=2 em (tfracpi2,pmtfracpi2),
f=0 em (0,pmtfracpi2) e (pi,pmtfracpi2). Destes, o maior valor é 5 e o menor é 0.

Resposta

Valor máximo: 5 alcançado em (\tfrac{\pi}{2},0). Valor mínimo: 0 alcançado em (0,\pm\tfrac{\pi}{2}) e (\pi,\pm\tfrac{\pi}{2}).

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