Nos exercícios seguintes encontre os valores extremos de
em
12.
12.
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos encontrar os valores extremos (máximo e mínimo absolutos) da função
num domínio fechado e limitado em
, dado por
. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em domínio compacto, e vamos precisar usar gradiente para pontos interiores e analisar as fronteiras.
Passo 2
Para achar pontos críticos interiores, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Temos
Isso dá
e
. Logo, ponto crítico interior em
, com
Passo 3
Análise das fronteiras para
e
: nesses casos
com
. A função
atinge seu máximo quando
(isto é,
), valor
, e mínimo quando
(isto é,
), valor
.
Passo 4
Análise das fronteiras para
e
: nesses casos
com
. A função
atinge máximo
em
e mínimo
em
ou
.
Passo 5
Comparação dos valores obtidos: candidatos são
em
,
em
e
,
em
,
em
e
. Destes, o maior valor é
e o menor é
.
Resposta
Valor máximo: 5 alcançado em (\tfrac{\pi}{2},0). Valor mínimo: 0 alcançado em (0,\pm\tfrac{\pi}{2}) e (\pi,\pm\tfrac{\pi}{2}).