Nos exercícios seguintes encontre os valores extremos de f em D subset R^2
11. f(x, y)=x^2-y^2.

Passo 1

A questão pede para encontrar os valores extremos de f(x,y)=x^2 - y^2 no domínio D=(x,y)in R^2: x^2+y^2<=1. Como f é contínua e D é compacto, sabemos que existem máximo e mínimo globais, que podem ocorrer em pontos críticos interiores ou no contorno.

Passo 2

Primeiro, analisamos o interior de D. Calculamos o gradiente
nabla f(x,y) = l(2x, -2yr)
Igualando a zero, temos 2x=0 e -2y=0, ou seja, o único ponto crítico interior é (0,0). Avaliando f lá, obtemos f(0,0)=0.

Passo 3

Agora examinamos o contorno, onde x^2+y^2=1. Uma forma simples é parametrizar por ângulo:
x=costheta, y=sintheta,
com 0<=theta<2pi. Substituindo em f:
f(costheta,sintheta)=cos^2theta-sin^2theta=cos(2theta)
Sabemos que cos(2theta) varia entre -1 e +1.

Passo 4

Portanto, no contorno o valor máximo de f é +1, atingido quando cos(2theta)=1, ou seja, 2theta=2kpi ( theta=0,pi), que correspondem aos pontos (1,0) e (-1,0). O valor mínimo é -1, quando cos(2theta)=-1, ou seja, 2theta=pi+2kpi ( theta=tfracpi2,tfrac3pi2), dando os pontos (0,1) e (0,-1).

Passo 5

Comparando com o valor interior f(0,0)=0, concluímos que o máximo global é 1 e o mínimo global é -1.

Resposta

Máximo global de f vale 1, nos pontos (1,0) e (-1,0); mínimo global vale -1, nos pontos (0,1) e (0,-1).

Exercícios relacionados