Nos exercícios seguintes encontre os valores extremos de
em
11.
.
11.
Passo 1
A questão pede para encontrar os valores extremos de
no domínio
. Como
é contínua e
é compacto, sabemos que existem máximo e mínimo globais, que podem ocorrer em pontos críticos interiores ou no contorno.
Passo 2
Primeiro, analisamos o interior de
. Calculamos o gradiente
Igualando a zero, temos
e
, ou seja, o único ponto crítico interior é
. Avaliando
lá, obtemos
.
Passo 3
Agora examinamos o contorno, onde
. Uma forma simples é parametrizar por ângulo:
com
. Substituindo em
:
Sabemos que
varia entre
e
.
Passo 4
Portanto, no contorno o valor máximo de
é
, atingido quando
, ou seja,
(
), que correspondem aos pontos
e
. O valor mínimo é
, quando
, ou seja,
(
), dando os pontos
e
.
Passo 5
Comparando com o valor interior
, concluímos que o máximo global é
e o mínimo global é
.
Resposta
Máximo global de
vale
, nos pontos
e
; mínimo global vale
, nos pontos
e
.