Use a transformada de Laplace para calcular as integrais abaixo:
integral0^infty t e^-3 t sen t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^infty t e^-3t sin t ,dt usando transformada de Laplace, que faz parte de Equações Diferenciais e Cálculo Integral. Vamos precisar da definição de Laplace e da propriedade que envolve o fator t.

Passo 2

Pela definição, a transformada de Laplace de f(t) é Lf(t)(s)=integral0^infty e^-stf(t),dt. Se escolhermos f(t)=tsin t e tomarmos s=3, nosso integral se torna Ltsin t(3).

Passo 3

Sabendo que Lsin t(s)=1s^2+1, usamos a propriedade Lt f(t)(s)=-ddsF(s), onde F(s)=Lf(t)(s).

Passo 4

Aplicamos a derivada em F(s)=1s^2+1. Calculamos
-dds1s^2+1=2s(s^2+1)^2
Logo Ltsin t(s)=2s(s^2+1)^2.

Passo 5

Basta agora avaliar em s=3:
2cdot3(3^2+1)^2=610^2=6100=350

Resposta

3/50

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