Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{1}{n(\ln n)^{5}}

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a série alternada
sumn=2^infty(-1)^n1n(ln n)^5
(ver a partir de n=2 porque ln1=0 não faz sentido). Vamos usar o teste de Leibniz para alternadas e depois o teste integral para a série de termos positivos (valor absoluto).

Passo 2

Para aplicar o teste de Leibniz, definimos o termo positivo
an=1n(ln n)^5
Precisamos verificar que:
1) an>0 para todo n>=2.
2) an+1 para n grande (é decrescente, pois n(ln n)^5 cresce).
3) limntoinftyan=0.
Como todas se satisfazem, a série alternada converge.

Passo 3

Para checar a série de termos positivos (a série dos valores absolutos)
sumn=2^infty1n(ln n)^5,
vamos usar o teste da integral. Considere
integral2^inftydxx(ln x)^5
Fazendo a troca u=ln x, du=dx/x, os limites vão de u=ln2 até utoinfty, e a integral vira
integralln2^inftyu^-5,du,
que converge (é uma integral de potência com expoente maior que 1). Logo a série de termos positivos também converge.

Passo 4

Como a série de valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente. Logo não é apenas condicional: ela já é absolutamente convergente.

Resposta

(a) a série alternada é convergente (na verdade convergente absolutamente). (b) a série de termos positivos é convergente.

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