Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{1}{n(\ln n)^{5}}
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{1}{n(\ln n)^{5}}
Passo 1
O enunciado pede para a gente analisar a série alternada
(ver a partir de
Passo 2
Para aplicar o teste de Leibniz, definimos o termo positivo
Precisamos verificar que:
1)
2)
3)
Como todas se satisfazem, a série alternada converge.
Passo 3
Para checar a série de termos positivos (a série dos valores absolutos)
vamos usar o teste da integral. Considere
Fazendo a troca
,
, os limites vão de
até
, e a integral vira
que converge (é uma integral de potência com expoente maior que 1). Logo a série de termos positivos também converge.
Passo 4
Como a série de valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente. Logo não é apenas condicional: ela já é absolutamente convergente.
Resposta
(a) a série alternada é convergente (na verdade convergente absolutamente). (b) a série de termos positivos é convergente.