Nos exercícios seguintes encontre os valores extremos de f em D subset R^2
13.

Passo 1

A ideia aqui é achar os extremos de uma função de duas variáveis num domínio retangular fechado. O conteúdo da matéria é otimização em regiões fechadas: primeiro a gente verifica pontos críticos via gradiente e depois examina as bordas.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f. Temos
partial fpartial x=y-2x, partial fpartial y=x
A condição de ponto crítico é
y-2x=0, x=0
Da segunda equação vem x=0, e então da primeira y=2x=0. Logo o único candidato interno é (0,0), que na verdade está na fronteira do nosso retângulo.

Passo 3

Como o ponto (0,0) fica na fronteira, precisamos analisar cada aresta do retângulo [0,1]times[0,1]:
  • Aresta x=0:
f(0,y)=0cdot y-0^2=0, yin[0,1],
sempre zero.
  • Aresta y=0:
f(x,0)=xcdot0-x^2=-x^2, xin[0,1],
que varia de 0 (em x=0) a -1 (em x=1).
  • Aresta x=1:
f(1,y)=1cdot y-1^2=y-1, yin[0,1],
que vai de -1 (em y=0) a 0 (em y=1).
  • Aresta y=1:
f(x,1)=x-x^2, xin[0,1]
Isto é uma parábola voltada para baixo com vértice em x=tfrac12, onde
fl(tfrac12,1r)=tfrac12-tfrac14=tfrac14
Nos extremos x=0 ou x=1 ela vale zero.

Passo 4

Agora basta comparar os valores obtidos: o menor valor foi -1 (em (1,0)) e o maior foi tfrac14 (em (tfrac12,1)).

Resposta

Mínimo global: f(1,0)=−1; Máximo global: f(\tfrac12,1)=\tfrac14.

Exercícios relacionados