Nos exercícios seguintes encontre os valores extremos de
em
13.
13.
Passo 1
A ideia aqui é achar os extremos de uma função de duas variáveis num domínio retangular fechado. O conteúdo da matéria é otimização em regiões fechadas: primeiro a gente verifica pontos críticos via gradiente e depois examina as bordas.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente de f. Temos
A condição de ponto crítico é
Da segunda equação vem
, e então da primeira
. Logo o único candidato interno é
, que na verdade está na fronteira do nosso retângulo.
Passo 3
Como o ponto
fica na fronteira, precisamos analisar cada aresta do retângulo
:
- Aresta
:
sempre zero.
- Aresta
:
que varia de
(em
) a
(em
).
- Aresta
:
que vai de
(em
) a
(em
).
- Aresta
:
Isto é uma parábola voltada para baixo com vértice em
, onde
Nos extremos
ou
ela vale zero.
Passo 4
Agora basta comparar os valores obtidos: o menor valor foi
(em
) e o maior foi
(em
).
Resposta
Mínimo global: f(1,0)=−1; Máximo global: f(\tfrac12,1)=\tfrac14.