Nos exercícios seguintes encontre os valores extremos de f em D subset R^2
15. f(x, y)=x^2-3 y+y^3.

Passo 1

A gente quer achar os extremos globais de f(x,y)=x²−3y+y³ no conjunto fechado e limitado D={ (x,y)∈ℝ²: x²+4y²≤36 }. Esse tipo de problema usa derivadas parciais pra achar pontos críticos no interior e multiplicadores de Lagrange pra fronteira.

Passo 2

Para encontrar pontos críticos no interior de D, calculamos o gradiente de f e igualamos a zero. O gradiente é dado por
∇f(x,y) = l(2x,,-3+3y²r) ²
Igualando cada componente a zero, vem:
2x=0 implies x=0, -3+3y²=0 implies y²=1 implies y=±1 ²²
Esses pontos são (0,1) e (0,−1). Como 0²+4·(±1)²=4≤36, ambos estão dentro de D.

Passo 3

Agora a gente avalia f nesses pontos internos:
f(0,1)=0−3·1+1³=-2, f(0,-1)=0-3(-1)+(-1)³=2³³

Passo 4

Na fronteira x²+4y²=36 usamos multiplicadores de Lagrange. Montamos
L(x,y,λ)=x²−3y+y³−λ(x²+4y²-36) ²³²²
As condições são
∂L/∂x=2x-2λx=0, ∂L/∂y=-3+3y²-8λy=0, x²+4y²=36 ²²²

Passo 5

Da primeira equação vem 2x(1-λ)=0, ou seja x=0 ou λ=1. Se x=0, da restrição temos 4y²=36 ⇒ y=±3. Esses dão os pontos (0,3) e (0,−3).
Se λ=1, a segunda equação fica
-3+3y²-8y=0 implies 3y²-8y-3=0 ²²
que resolve em y=3 (reaparece ponto (0,3)) ou y=-1/3. Para y=-1/3, da restrição
$$x²=36-4(1/9)=320/9 \implies x=±\frac{8\sqrt5}{3}.
$$
Assim há dois pontos na fronteira: x²=36-4(1/9)=320/9 implies x=±8raiz53 e (8√5/3, -1/3).

Passo 6

Agora avaliamos f nesses pontos de fronteira:
f(0,3)=0-9+27=18, f(0,-3)=0+9-27=-18, fl(±tfrac8raiz53,-tfrac13r)=3209+1-127=98627approx36.52

Passo 7

Comparando todos os valores de f obtidos, vemos que o valor mínimo global é -18 em (0,−3) e o valor máximo global é 986/27 nos pontos (±8√5/3,\u2009-1/3).

Resposta

Mínimo global: f=-18 em (0,−3). Máximo global: f=986/27 em (8√5/3, -1/3) e (-8√5/3, -1/3).

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