Nos exercícios seguintes encontre os valores extremos de
em
15.
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15.
Passo 1
A gente quer achar os extremos globais de f(x,y)=x²−3y+y³ no conjunto fechado e limitado D={ (x,y)∈ℝ²: x²+4y²≤36 }. Esse tipo de problema usa derivadas parciais pra achar pontos críticos no interior e multiplicadores de Lagrange pra fronteira.
Passo 2
Para encontrar pontos críticos no interior de D, calculamos o gradiente de f e igualamos a zero. O gradiente é dado por
Igualando cada componente a zero, vem:
Esses pontos são (0,1) e (0,−1). Como 0²+4·(±1)²=4≤36, ambos estão dentro de D.
Passo 3
Agora a gente avalia f nesses pontos internos:
Passo 4
Na fronteira x²+4y²=36 usamos multiplicadores de Lagrange. Montamos
As condições são
Passo 5
Da primeira equação vem 2x(1-λ)=0, ou seja x=0 ou λ=1. Se x=0, da restrição temos 4y²=36 ⇒ y=±3. Esses dão os pontos (0,3) e (0,−3).
Se λ=1, a segunda equação fica
Se λ=1, a segunda equação fica
que resolve em y=3 (reaparece ponto (0,3)) ou y=-1/3. Para y=-1/3, da restrição
$$x²=36-4(1/9)=320/9 \implies x=±\frac{8\sqrt5}{3}.
$$
Assim há dois pontos na fronteira: e
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Assim há dois pontos na fronteira:
Passo 6
Agora avaliamos f nesses pontos de fronteira:
Passo 7
Comparando todos os valores de f obtidos, vemos que o valor mínimo global é -18 em (0,−3) e o valor máximo global é 986/27 nos pontos (±8√5/3,\u2009-1/3).
Resposta
Mínimo global: f=-18 em (0,−3). Máximo global: f=986/27 em (8√5/3, -1/3) e (-8√5/3, -1/3).