Nos exercícios seguintes encontre os valores extremos de f em D subset R^2
14. f(x, y)=x^3-3 x+y^2.

Passo 1

Nesse exercício queremos encontrar os extremos da função f(x,y)=x^3-3x+y^2 sobre o conjunto D=(x,y)in R^2:,x^2-2x+y^2<=0. O conteúdo envolve otimização em domínio fechado: usaremos derivadas parciais para achar pontos críticos internos e parametrização da fronteira para estudar valores no contorno.

Passo 2

Primeiro identificamos geometricamente D. Escrevendo x^2-2x+y^2<=0 como
(x-1)^2+y^2<=1
vemos que D é o disco fechado de centro (1,0) e raio 1. Como f é contínua e D compacto, existem máximos e mínimos globais.

Passo 3

Para os pontos críticos internos calculamos as derivadas parciais:
fx=3x^2-3, fy=2y
e igualamos a zero. Daí
3x^2-3=0implies x^2=1implies x=pm1, 2y=0implies y=0

Passo 4

Verificamos quais estão em D. O ponto (1,0) satisfaz (1-1)^2+0^2=0<=1, já (-1,0) não pertence ao disco. Logo o único crítico interno é (1,0) com
f(1,0)=1^3-3cdot1+0^2=-2

Passo 5

Agora analisamos o contorno (x-1)^2+y^2=1. Parametrizamos por ângulo theta:
x=1+costheta, y=sintheta

Passo 6

Substituindo em f e simplificando obtemos em função de t=costhetain[-1,1]:
g(t)=t^3+2t^2-1

Passo 7

Para achar extremos de g no intervalo, calculamos
g'(t)=3t^2+4t=t(3t+4)=0
que dá t=0 ou t=-4/3. Apenas t=0 está em [-1,1]. Avaliamos g em t=-1,0,1:
g(-1)=0, g(0)=-1, g(1)=2

Passo 8

Esses correspondem aos pontos do contorno:
(-1!:,t=-1)to(x,y)=(0,0), (0)to(x,y)=(1,pm1), (1)to(x,y)=(2,0)

Passo 9

Finalmente comparamos todos os candidatos. O menor valor é -2 em (1,0) e o maior é 2 em (2,0).

Resposta

O valor mínimo global de f em D é -2 em (1,0), e o valor máximo global é 2 em (2,0).

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