Nos exercícios seguintes encontre os valores extremos de
em
14.
.
14.
Passo 1
Nesse exercício queremos encontrar os extremos da função
sobre o conjunto
. O conteúdo envolve otimização em domínio fechado: usaremos derivadas parciais para achar pontos críticos internos e parametrização da fronteira para estudar valores no contorno.
Passo 2
Primeiro identificamos geometricamente
. Escrevendo
como
vemos que
é o disco fechado de centro
e raio
. Como
é contínua e
compacto, existem máximos e mínimos globais.
Passo 3
Para os pontos críticos internos calculamos as derivadas parciais:
e igualamos a zero. Daí
Passo 4
Verificamos quais estão em
. O ponto
satisfaz
, já
não pertence ao disco. Logo o único crítico interno é
com
Passo 5
Agora analisamos o contorno
. Parametrizamos por ângulo
:
Passo 6
Substituindo em
e simplificando obtemos em função de
:
Passo 7
Para achar extremos de
no intervalo, calculamos
que dá
ou
. Apenas
está em
. Avaliamos
em
:
Passo 8
Esses correspondem aos pontos do contorno:
Passo 9
Finalmente comparamos todos os candidatos. O menor valor é
em
e o maior é
em
.
Resposta
O valor mínimo global de
em
é
em
, e o valor máximo global é
em
.