Nos Exercícios abaixo, determine o(s) valor(es) de h que fazem com que a matriz seja a matriz completa de um sistema linear possível.
\left[ \begin{array}{ccc}1 & -1 & 4 \\-2 & 3 & h\end{array}\right] \sim\left[ \begin{array}{ccc}1 & -1 & 4 \\0 & 1 & 8+h\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz aumentada de um sistema linear em duas variáveis x,y:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\\\ -2 & 3 & h \end{pmatrix}
e informa que, por eliminação de Gauss, ela é equivalente a
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\\\ 0 & 1 & 8+h \end{pmatrix}.
Queremos encontrar os valores de h que tornam o sistema possível (isto é, consistente).

Passo 2

A segunda linha da forma reduzida corresponde à equação
0\cdot x + 1\cdot y = 8 + h,
ou seja,
y = 8 + h.
A primeira linha dá
x - y = 4.

Passo 3

Para que o sistema fosse inconsistente, precisaríamos de uma linha do tipo
0\cdot x + 0\cdot y = c \quad\text{com}\quad c \neq 0.
Aqui não aparece nenhuma equação desse tipo, logo não há contradição.

Resposta

O sistema é consistente para todo h\in\mathbb{R}.

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