Nos exercícios abaixo, encontre T(t) e N(t).
sigma(t)=e^t sin t i+e^t cos t j.

Passo 1

O enunciado dá a curva
sigma(t)=e^tsin t,i+e^tcos t,j
e pede o vetor tangente unitário ,T(t) e o vetor normal principal unitário ,N(t).
Para isso vamos usar as definições
T(t)=sigma'(t)|sigma'(t)|, N(t)=T'(t)|T'(t)|

Passo 2

Calcular primeiro a derivada sigma'(t) e seu módulo.
Derivando componente a componente:
sigma'(t) =l(e^tsin t+e^tcos tr),i +l(e^tcos t - e^tsin tr),j =e^tl(sin t+cos t,;cos t-sin tr)
O módulo é
|sigma'(t)| =e^traiz(sin t+cos t)^2+(cos t-sin t)^2 =e^traiz2

Passo 3

Aplicando a definição de T(t):
T(t) =sigma'(t)|sigma'(t)| =e^t(sin t+cos t,;cos t-sin t)e^traiz2 =1raiz2l(sin t+cos t,;cos t-sin tr)

Passo 4

Agora derivamos T(t) para obter N(t).
T'(t) =1raiz2l(cos t-sin t,;-(sin t+cos t)r)
Calculamos seu módulo:
|T'(t)| =1raiz2raiz(cos t-sin t)^2+[-(sin t+cos t)]^2 =1raiz2raiz2 =1
Como |T'(t)|=1, basta N(t)=T'(t):
N(t) =1raiz2l(cos t-sin t,;-(sin t+cos t)r)

Resposta

T(t)=1raiz2l(sin t+cos t,,;cos t-sin tr), N(t)=1raiz2l(cos t-sin t,,;-(sin t+cos t)r)

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