Prove que o conjunto Z dos números inteiros é infinito enumerável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos inteiros Z é infinito enumerável, ou seja, que existe bijeção entre os naturais (por exemplo N=1,2,3,dots) e Z. Para isso precisamos usar a definição de “enumerável”: um conjunto A é enumerável se existe função f:Nto A que seja bijetora.

Passo 2

Vamos construir explicitamente uma função
f:NtoZ
que enumera todos os inteiros sem repetir nenhum. Definimos
f(n)= +dfracn2,&se (n) é par,[1em] -dfracn-12,&se (n) é ímpar ééí
Em outras palavras,
f(1)=0,
f(2)=1, f(3)=-1,
f(4)=2, f(5)=-2,
e assim por diante.]

Passo 3

Provar que f é injetora. Suponha f(m)=f(n).
– Se m e n forem ambos pares, então f(m)=m/2 e f(n)=n/2, logo m/2=n/2implies m=n.
– Se ambos ímpares, f(m)=-(m-1)/2 e f(n)=-(n-1)/2, daí (m-1)/2=(n-1)/2implies m=n.
– Se um é par e o outro ímpar, então f(m) é não negativo e f(n) é não positivo, a menos que ambos sejam zero. Mas o único zero ocorre quando o índice é 1 (ímpar) e para índices pares nunca dá zero, então não há coincidência. Concluímos m=n.

Passo 4

Provar que f é sobrejetora. Dado um inteiro qualquer zinZ, precisamos achar ninN tal que f(n)=z.
– Se z=0, basta n=1 pois f(1)=0.
– Se z>0, escolha n=2z. Então n é par e
f(n)=f(2z)=2z2=z
– Se z<0, escreva z=-k com k>0 e escolha n=2k+1. Então n é ímpar e
f(n)=f(2k+1)=-(2k+1)-12=-2k2=-k=z
Assim todo zinZ aparece como valor de f.

Resposta

Mostramos uma bijeção f:NtoZ, logo Z é infinito enumerável.

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