Nos exercícios abaixo, encontre os valores de
x>0
para os quais a série converge:
2)
1+x^2+x^4+ldots=sumk=0^infty x^2 k

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série
1 + x^2 + x^4 + cdots = sumk=0^infty x^2k,
com x>0, e queremos encontrar para quais valores de x essa série converge. O conteúdo aqui é série geométrica e vamos usar seu critério de convergência.

Passo 2

Identificamos que a série é geométrica, de primeiro termo a=1 e razão
r = x^2

Passo 3

O critério de convergência de uma série geométrica diz que ela converge se, e somente se,
|r| < 1
Assim, no nosso caso, requeremos
|x^2| < 1
Como x>0, isso equivale a
x^2 < 1 Long<=ftrightarrow 0 < x < 1

Resposta

A série converge para 0 < x < 1.

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