xxxviii) lim x (pi / 2)^- sec (7 x) cos (3 x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto(pi/2)^-sec(7x),cos(3x)
O conteúdo aqui é limites de funções trigonométricas e veremos que aparece uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Reescrevendo a expressão em forma de quociente, temos
sec(7x),cos(3x)=cos(3x)cos(7x)
Se fizermos substituição direta xto(pi/2)^-, obtemos
cos(3x)tocosl(3cdotpi2r)=cosl(tfrac3pi2r)=0,
cos(7x)tocosl(7cdotpi2r)=cosl(tfrac7pi2r)=0,
logo a forma é 0/0.

Passo 3

Como temos indeterminação 0/0 e as funções são diferenciáveis perto de x=pi/2, aplicamos a regra de L’Hôpital, diferenciando numerador e denominador:
a derivada de cos(3x) é -3sin(3x) e a de cos(7x) é -7sin(7x). Assim,
limxto(pi/2)^-cos(3x)cos(7x) =limxto(pi/2)^--3sin(3x)-7sin(7x) =37,limxto(pi/2)^-sin(3x)sin(7x)

Passo 4

Agora avaliamos a parte restante:
limxto(pi/2)^-sin(3x)=sinl(tfrac3pi2r)=-1, limxto(pi/2)^-sin(7x)=sinl(tfrac7pi2r)=-1,
portanto
limxto(pi/2)^-sin(3x)sin(7x)=-1-1=1
e o limite original vale tfrac37.

Resposta

37

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