- Suponha que exista
tal que
para
. Prove que
desde que olimite exista.
Passo 1
O enunciado diz que existe
tal que
e que
existe (é finito). Queremos mostrar que
. O conteúdo usado será a definição
–
de limite e prova por absurdo.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
Então podemos tomar
de modo que
. Como
, existe
tal que
Passo 3
Defina
. Assim, sempre que
temos simultaneamente
(pela escolha de
) e
. Logo valem:
-
. -
.
Passo 4
Da desigualdade
segue
Mas
. Concluímos que
o que contradiz
.
Passo 5
A contradição mostra que não pode ocorrer
. Como
é finito, segue que