1. Suponha que exista r>0 tal que f(x)>0 para p<x<p+r. Prove que lim x p f(x)>0 desde que olimite exista.

Passo 1

O enunciado diz que existe r>0 tal que
f(x)>0para todo p<x<p+r,
e que ell=limxto pf(x) existe (é finito). Queremos mostrar que ell>=0. O conteúdo usado será a definição varepsilon de<a de limite e prova por absurdo.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que
ell<0
Então podemos tomar
varepsilon=-tfracell2>0,
de modo que ell+varepsilon<0. Como limxto pf(x)=ell, existe de<a>0 tal que
0<|x-p|<de<aLongrightarrow|f(x)-ell|<varepsilon

Passo 3

Defina de<a'=min(de<a,r). Assim, sempre que
p<x<p+de<a',
temos simultaneamente 0<|x-p|<de<a (pela escolha de de<a') e x<p+r. Logo valem:
  1. |f(x)-ell|<varepsilon.
  2. f(x)>0.

Passo 4

Da desigualdade |f(x)-ell|<varepsilon segue
f(x)-ell>-varepsilon Longrightarrow f(x)>ell-varepsilon
Mas ell-varepsilon=ell-(-tfracell2)=tfracell2<0. Concluímos que
f(x)<0,
o que contradiz f(x)>0.

Passo 5

A contradição mostra que não pode ocorrer ell<0. Como ell é finito, segue que
ell>=0

Resposta

limxto pf(x)>=0.

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