(a) ( 0.5 pontos) Esboce o gráfico da região D=(x, y) in R^2 ; x <= 1, y <= 1 e x+y >= 1
(b) (2.5 pontos) Determine os valores máximos e mínimos absolutos de f(x, y)=y-x^3+2 no conjunto D do item anterior.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: em (a) desenhar a região
D=(x,y)in R^2 mid x<=1, y<=1, x+y>=1,
e em (b) encontrar os máximos e mínimos absolutos de
f(x,y)=y - x^3 + 2 sobre esse conjunto D.
Vamos usar geometria de meio-planes para (a) e o método de extremos em conjunto fechado (Weierstrass) para (b): achar pontos críticos internos e depois analisar as fronteiras.

Passo 2

Para esboçar D, note:
x<=1 é a região à esquerda da reta vertical x=1.
y<=1 é a região abaixo da reta horizontal y=1.
x+y>=1 é a região acima (ou sobre) da reta que passa por (1,0) e (0,1).
A interseção dessas três metades é o triângulo com vértices nos pontos onde as retas se cruzam:
(1,0),(0,1),(1,1)
Esse é o esboço de D.

Passo 3

Procuramos pontos críticos de f no interior de D.
fx = partialpartial x(y - x^3 + 2) = -3x^2, fy = partialpartial y(y - x^3 + 2) = 1
Para um ponto crítico precisaríamos fx=0 e fy=0. Mas fy=1neq0 sempre, logo não há pontos críticos no interior de D.

Passo 4

Agora avaliamos f em cada aresta do triângulo:
Segmento 1 (reta x+y=1, com 0<= x<=1 e y=1-x):
g(x)=fl(x,1-xr) = (1-x) - x^3 + 2 = 3 - x - x^3,
g'(x) = -1 - 3x^2 < 0forall xin[0,1],
logo g é estritamente decrescente em [0,1].
g(0) = 3, g(1)=1
Segmento 2 (reta x=1, com 0<= y<=1):
h(y)=fl(1,yr) = y - 1 + 2 = y + 1,
é crescente em yin[0,1], então
h(0)=1, h(1)=2
Segmento 3 (reta y=1, com 0<= x<=1):
k(x)=fl(x,1r) = 1 - x^3 + 2 = 3 - x^3,
k'(x) = -3x^2 <= 0,
logo decrescente em [0,1], e
k(0)=3, k(1)=2

Passo 5

Reunindo todos os valores obtidos nas arestas:
min f = 1, max f = 3
O valor mínimo 1 ocorre em (1,0) e o valor máximo 3 ocorre em (0,1).

Resposta

(a) D é o triângulo com vértices (1,0), (0,1) e (1,1), limitado pelas retas x=1, y=1 e x+y=1.
(b) fmin=1 em (1,0) e fmax=3 em (0,1).

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