(a) ( 0.5 pontos) Esboce o gráfico da região
e
(b) (2.5 pontos) Determine os valores máximos e mínimos absolutos de
no conjunto
do item anterior.
(b) (2.5 pontos) Determine os valores máximos e mínimos absolutos de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: em (a) desenhar a região
,
e em (b) encontrar os máximos e mínimos absolutos de
sobre esse conjunto
.
Vamos usar geometria de meio-planes para (a) e o método de extremos em conjunto fechado (Weierstrass) para (b): achar pontos críticos internos e depois analisar as fronteiras.
e em (b) encontrar os máximos e mínimos absolutos de
Vamos usar geometria de meio-planes para (a) e o método de extremos em conjunto fechado (Weierstrass) para (b): achar pontos críticos internos e depois analisar as fronteiras.
Passo 2
Para esboçar
, note:
– é a região à esquerda da reta vertical
.
– é a região abaixo da reta horizontal
.
– é a região acima (ou sobre) da reta que passa por
e
.
A interseção dessas três metades é o triângulo com vértices nos pontos onde as retas se cruzam:
–
–
–
A interseção dessas três metades é o triângulo com vértices nos pontos onde as retas se cruzam:
Esse é o esboço de
.
Passo 3
Procuramos pontos críticos de
no interior de
.
Para um ponto crítico precisaríamos
e
. Mas
sempre, logo não há pontos críticos no interior de
.
Passo 4
Agora avaliamos
em cada aresta do triângulo:
Segmento 1 (reta
, com
e
):
logo
é estritamente decrescente em
.
Segmento 2 (reta
, com
):
é crescente em
, então
Segmento 3 (reta
, com
):
logo decrescente em
, e
Passo 5
Reunindo todos os valores obtidos nas arestas:
O valor mínimo
ocorre em
e o valor máximo
ocorre em
.
Resposta
(a)
é o triângulo com vértices
,
e
, limitado pelas retas
,
e
.
(b) em
e
em
.
(b)