a) Seja 0,66666666 ldots… Podemos escrever tal número como
6 cdot 0,11111111 ldots ldots=6(110+1100+11000+cdots)=610 sumn=0^infty 110^n
Assim usando as propriedades da série geométrica verifique como representar 0,66666666 ldots… na forma de fração, ou melhor, de um número racional.

Passo 1

O número dado é uma dízima periódica simples, 0,66666…; podemos enxergá-lo como uma série geométrica infinita.

Passo 2

Reescrevemos 0,66666… destacando o fator 6: 0,66666… = 6·0,11111… e notamos que 0,11111… = sumn=1^infty 110^n.

Passo 3

Reconhecemos que sumn=1^infty 110^n é uma série geométrica com primeiro termo a=tfrac110 e razão r=tfrac110.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da soma da série geométrica infinita:
sumn=1^infty ar^n-1 = a1-r

Passo 5

No nosso caso, a=tfrac110 e r=tfrac110, então
sumn=1^infty 110^n = tfrac1101-tfrac110 = tfrac110tfrac910 = 19

Passo 6

Como 0,66666… = 6·0,11111…, multiplicamos por 6:
6 times 19 = 69

Passo 7

Simplificamos a fração tfrac69 dividindo numerador e denominador por 3:
69 = 23

Resposta

tfrac23

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