Nos exercícios abaixo, tomando n \in \mathbb{N} em 103), use a Regra de L’Hôpital para calcular os limites.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\operatorname{sen}^{2} x}-\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\displaystyle \lim_{x\to0}\Bigl(\frac{1}{\sin^{2}x}-\frac{1}{x^{2}}\Bigr).
Como cada termo diverge isoladamente e a diferença gera forma indeterminada \tfrac{0}{0}, vamos reescrever em uma única fração e aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Colocando em único quociente:
\frac{1}{\sin^{2}x}-\frac{1}{x^{2}} =\frac{x^{2}-\sin^{2}x}{x^{2}\sin^{2}x}.
Quando x\to0 temos x^{2}-\sin^{2}x\to0 e x^{2}\sin^{2}x\to0, confirmando a indeterminação \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Aplicamos L’Hôpital derivando numerador e denominador:
Numerador f(x)=x^{2}-\sin^{2}x implica
f'(x)=2x-2\sin x\cos x =2\bigl(x-\sin x\cos x\bigr).
Denominador g(x)=x^{2}\sin^{2}x implica
g'(x)=2x\sin^{2}x+2x^{2}\sin x\cos x.
O limite passa a ser \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)}, que ainda é do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 4

Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez. Derivando:
Para f'(x)=2(x-\sin x\cos x) vem
f''(x)=2\Bigl(1-(\cos^{2}x-\sin^{2}x)\Bigr) =4\sin^{2}x.
Para g'(x)=2x\sin^{2}x+2x^{2}\sin x\cos x vem
g''(x) =2\sin^{2}x+4x\cdot2\sin x\cos x +2x^{2}(\cos^{2}x-\sin^{2}x) =2\sin^{2}x+8x\sin x\cos x+2x^{2}(\cos^{2}x-\sin^{2}x).

Passo 5

Avaliaremos \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f''(x)}{g''(x)}. Usando \sin x\sim x e \cos x\sim1 em primeira ordem:
f''(x)\sim4x^{2}, \quad g''(x)\sim2x^{2}+8x^{2}+2x^{2}=12x^{2}.
Logo
\lim_{x\to0}\frac{f''(x)}{g''(x)} =\frac{4x^{2}}{12x^{2}} =\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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