Nos exercícios abaixo, tomando n \in \mathbb{N} em 103), use a Regra de L’Hôpital para calcular os limites.
\lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{\operatorname{sec} ^{2} 3 x}{\operatorname{sec} ^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\pi/2}\frac{\operatorname{sec}^2(3x)}{\operatorname{sec}^2(x)}
usando a Regra de L’Hôpital. Esse tipo de limite é indeterminado porque, à medida que x\to\pi/2, temos \operatorname{sec}^2(3x)\to\infty e \operatorname{sec}^2(x)\to\infty. Para aplicar L’Hôpital, primeiro reescrevemos a expressão num formato que gere 0/0.

Passo 2

Reescrevemos a razão em termos de cosseno:
\frac{\operatorname{sec}^2(3x)}{\operatorname{sec}^2(x)} =\frac{1/\cos^2(3x)}{1/\cos^2(x)} =\Bigl(\frac{\cos x}{\cos(3x)}\Bigr)^2.
Como \cos x\to0 e \cos(3x)\to0 quando x\to\pi/2, a parte interna
\frac{\cos x}{\cos(3x)} é um caso 0/0, apto para L’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos L’Hôpital ao limite
L = \lim_{x\to\pi/2}\frac{\cos x}{\cos(3x)}.
Derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}[\cos(3x)] = -3\sin(3x).
Logo,
L = \lim_{x\to\pi/2}\frac{-\sin x}{-3\sin(3x)} =\frac{1}{3}\lim_{x\to\pi/2}\frac{\sin x}{\sin(3x)}.
Como \sin(\pi/2)=1 e \sin(3\pi/2)=-1, obtemos
\lim_{x\to\pi/2}\frac{\sin x}{\sin(3x)} =\frac{1}{-1}=-1,
portanto L=-\tfrac{1}{3}.

Passo 4

O limite original é o quadrado de L:
\lim_{x\to\pi/2}\frac{\operatorname{sec}^2(3x)}{\operatorname{sec}^2(x)} =\bigl(L\bigr)^2 =\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)^2 =\tfrac{1}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{9}

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