Nos exercícios abaixo, tomando n \in \mathbb{N} em 103), use a Regra de L’Hôpital para calcular os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x}{x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}
usando a Regra de L’Hopital. Trata-se de um limite do tipo \tfrac{0}{0}, pois quando x\to0 temos \arctan x\to0 e x\to0.

Passo 2

Como é a forma \tfrac{0}{0}, aplicamos a Regra de L’Hopital, derivando numerador e denominador:
– Derivada de \arctan x é \tfrac{1}{1+x^2}.
– Derivada de x é 1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} =\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x^2} =\frac{1}{1+0} =1.

Resposta

1

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