Resolva os sistemas:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=y+2 z \\\ \dot{y}=2 x-3 y-4 z \\\ \dot{z}=-2 x+3 y+5 z\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo de EDOs com coeficientes constantes
\begin{cases} \dot x = y + 2z,\\\ \dot y = 2x - 3y - 4z,\\\ \dot z = -2x + 3y + 5z. \end{cases}
Em forma matricial, temos \dot X = A\,X, onde
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ 2 & -3 & -4\\\\ -2 & 3 & 5 \end{pmatrix},
e X(t)=(x(t),y(t),z(t))^T. Para resolver, vamos achar os autovalores de A (determinante \det(A-\lambda I)=0) e depois os autovetores correspondentes, obtendo assim a solução geral como combinação linear de exponenciais.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 2\\\\ 2 & -3-\lambda & -4\\\\ -2 & 3 & 5-\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3+2\lambda^2+\lambda-2.
Multiplicando por -1, obtemos
\lambda^3-2\lambda^2-\lambda+2 = 0
e fatorando em duas partes,
\lambda^3-2\lambda^2-\lambda+2 =(\lambda^2-1)(\lambda-2) =(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-2).
Logo, os autovalores são
\lambda_1=1,\quad \lambda_2=-1,\quad \lambda_3=2.

Passo 3

Agora achamos um autovetor para cada autovalor:
Para \lambda=1, resolvemos (A-I)v=0. Uma base do espaço nulo é
v^{(1)}=\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda=-1, resolvemos (A+I)v=0. Uma solução é
v^{(2)}=\begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda=2, resolvemos (A-2I)v=0. Uma escolha de autovetor é
v^{(3)}=\begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 4\end{pmatrix}.

Passo 4

Como os três autovalores são distintos, a solução geral do sistema é
X(t)=C_1\,e^{\lambda_1 t}\,v^{(1)} + C_2\,e^{\lambda_2 t}\,v^{(2)} + C_3\,e^{\lambda_3 t}\,v^{(3)}.
Substituindo \lambda_i e v^{(i)}, temos
X(t) = C_1\,e^{t}\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} + C_2\,e^{-t}\begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix} + C_3\,e^{2t}\begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 4\end{pmatrix}.
Daí extraímos as componentes x(t), y(t) e z(t).

Resposta

x(t)=2C_1\,e^{t}+3C_3\,e^{2t},\quad y(t)=-2C_2\,e^{-t}-2C_3\,e^{2t},\quad z(t)=C_1\,e^{t}+C_2\,e^{-t}+4C_3\,e^{2t},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

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