Resolva os sistemas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo de EDOs com coeficientes constantes
Em forma matricial, temos
, onde
e
. Para resolver, vamos achar os autovalores de
(determinante
) e depois os autovetores correspondentes, obtendo assim a solução geral como combinação linear de exponenciais.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico
Multiplicando por
, obtemos
e fatorando em duas partes,
Logo, os autovalores são
Passo 3
Agora achamos um autovetor para cada autovalor:
Para
, resolvemos
. Uma base do espaço nulo é
Para
, resolvemos
. Uma solução é
Para
, resolvemos
. Uma escolha de autovetor é
Passo 4
Como os três autovalores são distintos, a solução geral do sistema é
Substituindo
e
, temos
Daí extraímos as componentes
,
e
.
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.