Nos exercícios abaixo, verifique se a integral é convergente ou divergente.(Integrais Impróprias do tipo II)
integral-1^1 d xx^2 / 3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
integral-1^1dxx^2/3
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é integrais impróprias do tipo II (singularidade interna em x=0). Vamos usar a definição de integral imprópria e o teste p para funções do tipo x^{–p}.

Passo 2

Identificamos que há singularidade em x=0. Para aplicar a definição, dividimos a integral em duas partes:
integral-1^1dxx^2/3= limato0^+integral-1^-adxx^2/3+ limbto0^+integralb^1dxx^2/3

Passo 3

Começando pela parte à direita, para b>0 temos:
integralb^1x^-2/3,dx
A primitiva de x^{-2/3} é
x^1/31/3=3x^1/3
Então
integralb^1x^-2/3dx=igl[3x^1/3r]b^1=3-3b^1/3 
Fazendo b\to0^+, o limite é 3, logo essa parte converge.

Passo 4

Agora a parte à esquerda, para a>0:
integral-1^-ax^-2/3dx
Como x{-2/3}=1/|x|{2/3} e a primitiva simétrica leva ao mesmo valor, podemos usar substituição x=−u (u>0) para ver que
integral-1^-ax^-2/3dx= integral1^au^-2/3(-du)= integrala^1u^-2/3du,
e isso dá exatamente 3−3a^{1/3}. No limite a\to0^+, também converge para 3.

Passo 5

Como ambas as partes convergem (cada uma para 3), a integral total converge e seu valor é 3+3=6.

Resposta

A integral é convergente e vale 6.

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