Nos exercícios abaixo, verifique se a integral é convergente ou divergente.(Integrais Impróprias do tipo II)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é integrais impróprias do tipo II (singularidade interna em x=0). Vamos usar a definição de integral imprópria e o teste p para funções do tipo x^{–p}.
Passo 2
Identificamos que há singularidade em x=0. Para aplicar a definição, dividimos a integral em duas partes:
Passo 3
Começando pela parte à direita, para b>0 temos:
A primitiva de x^{-2/3} é
Então
Fazendo b\to0^+, o limite é 3, logo essa parte converge.
Passo 4
Agora a parte à esquerda, para a>0:
Como x{-2/3}=1/|x|{2/3} e a primitiva simétrica leva ao mesmo valor, podemos usar substituição x=−u (u>0) para ver que
e isso dá exatamente 3−3a^{1/3}. No limite a\to0^+, também converge para 3.
Passo 5
Como ambas as partes convergem (cada uma para 3), a integral total converge e seu valor é 3+3=6.
Resposta
A integral é convergente e vale 6.