Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
3)
sumk=1^infty (-1)^k+1 k^2(k+2)!

Passo 1

O exercício pede para analisar a série
sumk=1^infty (-1)^k+1 k^2(k+2)!,
verificando (a) se ela converge absolutamente e (b) se converge condicionalmente. Para (a) vamos aplicar o Teste da Razão à série dos valores absolutos. Se ela converge, a série original é absolutamente convergente e, portanto, não pode ser apenas condicional.

Passo 2

Definimos os termos em valor absoluto por
ak = k^2(k+2)!
Precisamos estudar a convergência de sumk=1^infty ak.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão:
L = limktoinfty ak+1ak = limktoinfty (k+1)^2(k+3)!k^2(k+2)! = limktoinfty(k+1)^2k^2cdot(k+2)!(k+3)! = limktoinfty(k+1)^2k^2cdot1k+3 = 0
Como L<1, a série sum ak converge.

Passo 4

Como sum ak converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência generalizada, não apenas condicional.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, não é condicionalmente convergente.

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