Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
4)
sumk=2^infty(-1)^k+1 kln k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumk=2^infty(-1)^k+1,kln k
querendo saber (a) se ela converge absolutamente e (b) se ela converge condicionalmente. Vamos usar testes de comparação, integral e o teste da condição necessária para convergência de séries alternadas.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos
bk = |(-1)^k+1,kln k| = kln k
Note que, para k>=3, temos ln k<= k-1, de modo que
kln k>= k,k-1,>1
Logo bknotto0 quando ktoinfty, e portanto a série sum bk diverge (nem mesmo passam no teste da divergência). Concluímos que não há convergência absoluta.

Passo 3

Para verificar convergência condicional, olhamos para a série alternada original
ak = (-1)^k+1,kln k
Um requisito básico para qualquer série convergente é limktoinftyak=0. Mas aqui
limktoinftykln k = +infty,
logo limktoinftyak não existe como zero. Pelo teste da divergência, a série original diverge imediatamente, e não pode convergir nem condicionalmente.

Resposta

(a) Não converge absolutamente.
(b) Não converge condicionalmente (a série diverge).

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