Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
4)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
querendo saber (a) se ela converge absolutamente e (b) se ela converge condicionalmente. Vamos usar testes de comparação, integral e o teste da condição necessária para convergência de séries alternadas.
Passo 2
Para verificar convergência absoluta, consideramos
Note que, para k>=3, temos ln k<= k-1, de modo que
kln k>= k,k-1,>1
Logo bknotto0 quando ktoinfty, e portanto a série sum bk diverge (nem mesmo passam no teste da divergência). Concluímos que não há convergência absoluta.
Passo 3
Para verificar convergência condicional, olhamos para a série alternada original
ak = (-1)^k+1,kln k
Um requisito básico para qualquer série convergente é limktoinftyak=0. Mas aqui
limktoinftykln k = +infty,
logo limktoinftyak não existe como zero. Pelo teste da divergência, a série original diverge imediatamente, e não pode convergir nem condicionalmente.
Resposta
(a) Não converge absolutamente.
(b) Não converge condicionalmente (a série diverge).