Nos exercícios abaixo,determine para que valores de k \in \mathbb{R} o sistema(a)tem solução única; (b)não tem solução;(c)possui infinitas soluções.
23. \{\begin{array}{l}3 x+2 y=1 \\ 6 x+4 y=k\end{array}\right.

Passo 1

O sistema é
\begin{cases} 3x + 2y = 1,\\\\ 6x + 4y = k. \end{cases}
É um sistema linear 2\times2 com parâmetro k. Vamos usar o determinante da matriz de coeficientes para checar solução única e depois comparar as equações para ver quando são compatíveis ou não.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
\det = \begin{vmatrix} 3 & 2\\\\ 6 & 4 \end{vmatrix} =3\cdot4 - 2\cdot6 =12-12 = 0.
Como \det=0, o sistema nunca tem solução única para nenhum k.

Passo 3

Observamos que a segunda equação é exatamente 2 vezes a primeira no lado das variáveis, pois
2\,(3x+2y) = 6x+4y.
Para que também os termos constantes se multipliquem na mesma proporção, precisamos de
2\cdot1 = k \quad\Longrightarrow\quad k=2.
  • Se k=2, as duas equações são idênticas e o sistema tem infinitas soluções (retas coincidentes).
  • Se k\neq2, as retas são paralelas e possuem termos independentes diferentes, logo não há solução.

Resposta

(a) não existe nenhum k\in\mathbb{R} com solução única
(b) o sistema não tem solução se k\neq2
(c) o sistema tem infinitas soluções se k=2

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