Nos exercícios abaixo,determine para que valores de k \in \mathbb{R} o sistema(a)tem solução única; (b)não tem solução;(c)possui infinitas soluções.
25.\{\begin{array}{l}3 x+2 y=11 \\ 6 x+k y=21\end{array}\right.
e pede para quais valores de k\in\mathbb{R} o sistema tem solução única, não tem solução ou tem infinitas soluções. Vamos usar a análise do determinante da matriz dos coeficientes e depois verificação de consistência quando o determinante for zero.
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix}3 & 2 \\[6pt] 6 & k\end{pmatrix}
e calculamos o determinante:
\det(A) = 3\cdot k - 2\cdot 6 = 3k - 12.
Pelo teorema de Cramer, o sistema tem solução única se e somente se \det(A)\neq 0, isto é,
3k - 12 \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad k \neq 4.]
Passo 3
Quando k = 4\), temos \(\det(A)=0\) e o sistema pode ser inconsistente ou ter infinitas soluções. Substituindo \(k=4\), o sistema fica
\[\begin{cases} 3x + 2y = 11,\\\\ 6x + 4y = 21. \end{cases}
Mas a segunda equação é 2\,(3x + 2y) = 22\], e isso exigiria \(22=21, o que é impossível. Logo, o sistema é inconsistente e não tem solução. Não há valor de k que gere infinitas soluções.
Resposta
(a) k \neq 4
(b) k = 4
(c) não existe k que gere infinitas soluções.