Nos sistemas lineares abaixo, a partir da forma escalonada, determine se o sistema tem solução única, não possui solução ou admite infinitas soluções. Se tiver solução única, determine a solução; se possuir infinitas soluções, descreva o conjunto-solução do sistema.
18. \{\begin{array}{l}3 x_{1}-6 x_{2}+x_{3}+13 x_{4}=15 \\ 3 x_{1}-6 x_{2}+3 x_{3}+21 x_{4}=21 \\ 2 x_{1}-4 x_{2}+5 x_{3}+26 x_{4}=23\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} 3x_{1}-6x_{2}+x_{3}+13x_{4}=15,\\\\ 3x_{1}-6x_{2}+3x_{3}+21x_{4}=21,\\\\ 2x_{1}-4x_{2}+5x_{3}+26x_{4}=23, \end{cases}
com quatro incógnitas e três equações. O conteúdo é escalonamento de matrizes aumentadas para classificar soluções de sistemas lineares.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e aplicamos
R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{2}{3}R_{1}
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & -6 & 1 & 13 & 15\\\\ 3 & -6 & 3 & 21 & 21\\\\ 2 & -4 & 5 & 26 & 23 \end{array}\right] \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 3 & -6 & 1 & 13 & 15\\\\ 0 & 0 & 2 & 8 & 6\\\\ 0 & 0 & \tfrac{13}{3} & \tfrac{52}{3} & 13 \end{array}\right].

Passo 3

Agora eliminamos a terceira linha combinando com a segunda:
R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{13}{6}R_{2}
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & -6 & 1 & 13 & 15\\\\ 0 & 0 & 2 & 8 & 6\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

A forma escalonada tem dois pivôs (colunas de x_{1} e x_{3}) e quatro variáveis. Como \rank=2<4, o sistema admite infinitas soluções. Escolhemos x_{2}=\lambda e x_{4}=\mu como parâmetros livres.

Passo 5

Das equações não nulas:
2x_{3}+8x_{4}=6\implies x_{3}+4x_{4}=3\implies x_{3}=3-4\mu,
3x_{1}-6x_{2}+x_{3}+13x_{4}=15\implies 3x_{1}=15+6x_{2}-x_{3}-13x_{4}
substituindo x_{2}=\lambda, x_{3}=3-4\mu, x_{4}=\mu:
3x_{1}=15+6\lambda-(3-4\mu)-13\mu=12+6\lambda-9\mu \implies x_{1}=4+2\lambda-3\mu.

Resposta

\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(4+2\lambda-3\mu,\;\lambda,\;3-4\mu,\;\mu)\mid \lambda,\mu\in\mathbb{R}\}.

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