Nos sistemas lineares abaixo, a partir da forma escalonada, determine se o sistema tem solução única, não possui solução ou admite infinitas soluções. Se tiver solução única, determine a solução; se possuir infinitas soluções, descreva o conjunto-solução do sistema.
20. \{\begin{array}{r}2 x_{1}+4 x_{2}-x_{3}-2 x_{4}+2 x_{5}=6 \\ x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}-7 x_{4}+3 x_{5}=9 \\ 5 x_{1}+8 x_{2}-7 x_{3}+6 x_{4}+x_{5}=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e cinco incógnitas
\begin{cases} 2x_{1}+4x_{2}-x_{3}-2x_{4}+2x_{5}=6,\\\ x_{1}+3x_{2}+2x_{3}-7x_{4}+3x_{5}=9,\\\\ 5x_{1}+8x_{2}-7x_{3}+6x_{4}+x_{5}=4, \end{cases}
e pede, a partir da forma escalonada, determinar se há solução única, nenhuma ou infinitas. Como há mais incógnitas que equações, é razoável esperar infinitas soluções. Vamos aplicar eliminação de Gauss para chegar à forma escalonada reduzida, identificar pivôs e variáveis livres.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e trocamos a linha 1 com a linha 2 para ter pivô 1 na primeira posição:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 2 & 4 & -1 & -2 & 2 & 6\\\\ 1 & 3 & 2 & -7 & 3 & 9\\\\ 5 & 8 & -7 & 6 & 1 & 4 \end{array}\right] \;\xrightarrow{\substack{L_1\leftrightarrow L_2}}\; \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 2 & -7 & 3 & 9\\\\ 2 & 4 & -1 & -2 & 2 & 6\\\\ 5 & 8 & -7 & 6 & 1 & 4 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos x_{1} de L_2 e L_3:
L_2 \gets L_2 - 2L_1,\quad L_3 \gets L_3 - 5L_1
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 2 & -7 & 3 & 9\\\\ 0 & -2 & -5 & 12 & -4 & -12\\\\ 0 & -7 & -17 & 41 & -14 & -41 \end{array}\right]

Passo 4

Tornamos pivô de L_2 igual a 1 e eliminamos x_{2} de L_1 e L_3:
L_2 \gets -\tfrac12 L_2 \;\Rightarrow\; \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 2 & -7 & 3 & 9\\\\ 0 & 1 & \tfrac52 & -6 & 2 & 6\\\\ 0 & -7& -17 & 41 & -14 & -41 \end{array}\right]
L_1\gets L_1-3L_2,\quad L_3\gets L_3+7L_2 \;\Rightarrow\; \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{11}{2} & 11 & -3 & -9\\\\ 0 & 1 & \tfrac{5}{2} & -6 & 2 & 6\\\\ 0 & 0 & \tfrac12 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 5

Tornamos pivô de L_3 igual a 1 e eliminamos x_{3} de L_1 e L_2:
L_3\gets 2L_3 \;\Rightarrow\; \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{11}{2} & 11 & -3 & -9\\\\ 0 & 1 & \tfrac{5}{2} & -6 & 2 & 6\\\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 \end{array}\right]
L_1\gets L_1+\tfrac{11}{2}L_3,\quad L_2\gets L_2-\tfrac{5}{2}L_3 \;\Rightarrow\; \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -3 & 2\\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 \end{array}\right]

Passo 6

Da forma escalonada reduzida vemos pivôs em x_{1},x_{2},x_{3} e variáveis livres x_{4},x_{5}. Seja
x_{4}=s,\quad x_{5}=t,\quad s,t\in\mathbb{R}.
As equações finais são
\begin{cases} x_{1}-3x_{5}=2,\\\ x_{2}-x_{4}+2x_{5}=1,\\\ x_{3}-2x_{4}=2, \end{cases}
portanto
x_{1}=2+3t,\quad x_{2}=1+s-2t,\quad x_{3}=2+2s,\quad x_{4}=s,\quad x_{5}=t.

Resposta

O sistema admite infinitas soluções, dadas por
\bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\bigr) =(2,1,2,0,0) +s\,(0,1,2,1,0) +t\,(3,-2,0,0,1), \quad s,t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados