Questão
: Considere a curva
obtida a partir da intersecção entre o cone
e o plano
.
(a) Determine uma parametrização
para
;
(b) Encontre um ponto em que o plano normal à curva
seja paralelo ao plano de equação
;
(c) Determine a equação do plano osculador à curva
no ponto
.
(a) Determine uma parametrização
(b) Encontre um ponto em que o plano normal à curva
(c) Determine a equação do plano osculador à curva
Passo 1
O enunciado pede:
- (a) encontrar uma parametrização
da curva obtida da intersecção de
- (b) achar o ponto em que o plano normal à curva seja paralelo ao plano de equação
- (c) determinar a equação do plano osculador à curva no ponto
.
Para isso vamos: (i) parametrizar por; (ii) usar para o plano normal; (iii) analisar e para o osculador.
Passo 2
Igualando as duas expressões de
temos
e então
Tomando
, uma parametrização é
Passo 3
O vetor normal ao plano
é
.
O plano normal à curva em tem como normal o vetor tangente
O plano normal à curva em
Para que este vetor seja paralelo ao plano dado, basta
O ponto procurado é
Passo 4
Para o plano osculador precisamos de
e
no ponto
. Esse ponto corresponde a
.
Calculando
Calculando
vemos que em
Como
, a curvatura ali é zero e o vetor normal principal não existe, de modo que não há um plano osculador único. Qualquer plano que contenha a reta tangente (direção
) serve de “osculador”, pois o accelaration vector é nulo.
Resposta
(a)
(b) , ponto
(c) Não se define plano osculador único em porque
, ou seja, a curvatura ali é zero. Portanto qualquer plano contendo a reta tangente
pode ser considerado “osculador.”
(b)
(c) Não se define plano osculador único em