Nos exercícios 1 a 8 algumas das equações são lineares de primeira ordem. Identifique-as e ache sua solução geral.
((1+x) y d x+x d y=0)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(1+x)\,y\,dx + x\,dy = 0
e pede para identificá-la como uma equação linear em y(x) e achar a solução geral. Vamos usar o método de equações lineares de 1ª ordem, escrevendo em sua forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Dividindo a equação original por dx e isolando \frac{dy}{dx}, temos
(1+x)\,y + x\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} + \frac{1+x}{x}\,y = 0.
Aqui P(x)=\frac{1+x}{x}=1+\frac1x e Q(x)=0.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int\Bigl(1+\frac1x\Bigr)\,dx\Bigr) = \exp\bigl(x + \ln|x|\bigr) = x\,e^x.
Multiplicando a equação padronizada por \mu(x), obtemos
x\,e^x\,\frac{dy}{dx} + \bigl(1+x\bigr)e^x\,y = 0,
que é reconhecível como
\frac{d}{dx}\bigl(y\,x\,e^x\bigr) = 0.

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x,
\frac{d}{dx}\bigl(y\,x\,e^x\bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y\,x\,e^x = C,
onde C é constante de integração. Isolando y,
y = \frac{C}{x\,e^x} = C\,\frac{e^{-x}}{x}.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C \,\frac{e^{-x}}{x},\quad C\in\mathbb{R}.

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