Nos exercícios 1 a 8 algumas das equações são lineares de primeira ordem. Identifique-as e ache sua solução geral.
(\frac{d y}{d x}-y \tan (x)=\operatorname{sen}(x))

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
\frac{dy}{dx} - y\,\tan(x) = \sin(x),
que é uma equação linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo no formato padrão y' + P(x)\,y = Q(x), temos
y' + \bigl(-\tan(x)\bigr)\,y = \sin(x),
portanto P(x) = -\tan(x) e Q(x) = \sin(x).

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\tan(x)\,dx\Bigr) = \exp\bigl(\ln(\cos(x))\bigr) = \cos(x).

Passo 4

Multiplicando toda a equação por \mu(x)=\cos(x), obtemos
\cos(x)\,y' - y\,\sin(x) = \sin(x)\cos(x).
O lado esquerdo é exatamente a derivada de \cos(x)\,y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\,y\bigr) = -\sin(x)\,y + \cos(x)\,y'.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\,y\bigr)\,dx = \int \sin(x)\cos(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \cos(x)\,y = \int \sin(x)\cos(x)\,dx + C.
Como \int \sin(x)\cos(x)\,dx = \tfrac12\sin^2(x), fica
\cos(x)\,y = \tfrac12\,\sin^2(x) + C.

Passo 6

Isolando y, dividimos por \cos(x):
y = \frac{\tfrac12\,\sin^2(x)}{\cos(x)} + \frac{C}{\cos(x)} = \tfrac12\,\frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} + C\,\operatorname{sec}(x).
Podemos também escrever \sin^2(x)/\cos(x)=\sin(x)\tan(x), então
y = \tfrac12\,\sin(x)\,\tan(x) + C\,\operatorname{sec}(x).

Resposta

\boxed{y(x) = \tfrac12\,\sin(x)\,\tan(x) + C\,\operatorname{sec}(x).}

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