Nos Exercícios 6-8 , calcule o determinante da matriz dada reduzindo a matriz à forma escalonada por linhas.
[lll0 & 3 & 1 1 & 1 & 2 3 & 2 & 4]

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar o determinante da matriz
A = 0 & 3 & 1 1 & 1 & 2 3 & 2 & 4
usando forma escalonada por linhas.
Conteúdo: determinante e operações elementares de linha.
O que vamos precisar:
  • Saber que trocar duas linhas multiplica o det por –1.
  • Saber que adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o det.
  • Usar a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 2

Primeiro pivô deveria estar em A(1,1), mas lá tem 0. Então trocamos R₁ e R₂.
Operação:
R1 rightarrow R2Longrightarrow det muda de sinal
Fica
1 & 1 & 2 0 & 3 & 1 3 & 2 & 4

Passo 3

Agora a ideia é zerar o elemento A(3,1)=3 usando R₃ ← R₃ – 3·R₁. Como essa é “adicionar múltiplo de uma linha”, o det não muda.
1 & 1 & 2 0 & 3 & 1 3 & 2 & 4 ;xrightarrowR3to R3-3R1; 1 & 1 & 2 0 & 3 & 1 0 & -1 & -2

Passo 4

Agora vamos zerar A(3,2)=–1 usando R₃ ← R₃ + \tfrac13·R₂ (mais uma vez: adicionar múltiplo não muda o det).
1 & 1 & 2 0 & 3 & 1 0 & -1 & -2 ;xrightarrowR3to R3+tfrac13R2; 1 & 1 & 2 0 & 3 & 1 0 & 0 & -tfrac53
Agora está em forma triangular superior.
Propriedade:
det(triangular) = 1 cdot 3 cdot l(-tfrac53r) ;=;-5
Mas não esquece da troca de linha do Passo 2, que deu um fator –1 extra. Então o determinante da matriz original é
(-1)times(-5)=5

Resposta

boxed5

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