Seja
e
. Mostre que se a terceira linha da matriz
é quatro vezes a primeira linha de
, então a terceira linha de
também é igual a quatro vezes a primeira linha de
.
Passo 1
O enunciado está em Álgebra Linear e trata da propriedade de combinação linear de linhas na multiplicação de matrizes. Temos
de tamanho
e
de tamanho
. Sabemos que a terceira linha de
é quatro vezes a primeira, isto é, para todo
vale
Queremos mostrar que essa mesma relação vale para as linhas correspondentes de
.
Passo 2
Lembrando a definição de produto de matrizes: o elemento da linha
e coluna
de
é
Em particular, a linha
de
é dada pela linha
de
multiplicada por
.
Passo 3
Usando que
, para cada coluna
da matriz produto temos
Passo 4
Como o fator
é constante em relação à soma, podemos colocá-lo em evidência:
Passo 5
Visto que
para todo
, concluímos que a terceira linha de
é exatamente quatro vezes a primeira linha de
.
Resposta
A terceira linha de
é quatro vezes a primeira linha de
.