Seja Am times n e Bn times p. Mostre que se a terceira linha da matriz A é quatro vezes a primeira linha de A, então a terceira linha de A B também é igual a quatro vezes a primeira linha de A B.

Passo 1

O enunciado está em Álgebra Linear e trata da propriedade de combinação linear de linhas na multiplicação de matrizes. Temos A de tamanho mtimes n e B de tamanho ntimes p. Sabemos que a terceira linha de A é quatro vezes a primeira, isto é, para todo k vale
a3k=4,a1k
Queremos mostrar que essa mesma relação vale para as linhas correspondentes de AB.

Passo 2

Lembrando a definição de produto de matrizes: o elemento da linha i e coluna j de AB é
(AB)ij=sumk=1^naik,bkj
Em particular, a linha i de AB é dada pela linha i de A multiplicada por B.

Passo 3

Usando que a3k=4,a1k, para cada coluna j da matriz produto temos
(AB)3j =sumk=1^na3k,bkj =sumk=1^nl(4,a1kr),bkj

Passo 4

Como o fator 4 é constante em relação à soma, podemos colocá-lo em evidência:
sumk=1^nl(4,a1kr),bkj =4sumk=1^na1k,bkj =4,(AB)1j

Passo 5

Visto que (AB)3j=4,(AB)1j para todo jin1,dots,p, concluímos que a terceira linha de AB é exatamente quatro vezes a primeira linha de AB.

Resposta

A terceira linha de AB é quatro vezes a primeira linha de AB.

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