Nos Exercícios 6-8 , calcule o determinante da matriz dada reduzindo a matriz à forma escalonada por linhas.
Passo 1
Então, o exercício manda calcular o determinante da matriz
A=[llll2 & 1 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3]
usando escalonamento por linhas. Isso é Álgebra Linear, lidando com determinantes e operações elementares em matrizes. Para resolver, vamos precisar das seguintes propriedades:
usando escalonamento por linhas. Isso é Álgebra Linear, lidando com determinantes e operações elementares em matrizes. Para resolver, vamos precisar das seguintes propriedades:
- Trocar duas linhas inverte o sinal do determinante.
- Somar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
- Em uma matriz triangular, o determinante é o produto das entradas da diagonal principal.
Passo 2
Pra evitar frações logo de cara, a gente troca a linha 1 com a linha 2. Lembre que isso muda o sinal do det. A matriz fica
Passo 3
Agora usamos o pivô
1 em (1,1) para zerar o elemento abaixo dele:
Como somar múltiplo de linha não altera o det, a matriz vira
Passo 4
O pivô agora é
1 em (2,2). A gente zera as entradas abaixo dele fazendo:
De novo, essas operações não mudam o det. Fica
Passo 5
O próximo pivô é
-1 em (3,3). Para zerar o
1 em (4,3), usamos:
E obtemos a forma triangular superior
Passo 6
Em matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Mas lembrando que, no Passo 2, trocamos duas linhas (o que inverteu o sinal), o determinante da matriz original é