Nos Exercícios 6-8 , calcule o determinante da matriz dada reduzindo a matriz à forma escalonada por linhas.
[llll2 & 1 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3]

Passo 1

Então, o exercício manda calcular o determinante da matriz
A=[llll2 & 1 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3]
usando escalonamento por linhas. Isso é Álgebra Linear, lidando com determinantes e operações elementares em matrizes. Para resolver, vamos precisar das seguintes propriedades:
  1. Trocar duas linhas inverte o sinal do determinante.
  2. Somar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
  3. Em uma matriz triangular, o determinante é o produto das entradas da diagonal principal.

Passo 2

Pra evitar frações logo de cara, a gente troca a linha 1 com a linha 2. Lembre que isso muda o sinal do det. A matriz fica
[llll 1 & 0 & 1 & 1 2 & 1 & 3 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3 ]

Passo 3

Agora usamos o pivô 1 em (1,1) para zerar o elemento abaixo dele:
L2 L2 - 2,L1
Como somar múltiplo de linha não altera o det, a matriz vira
[llll 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3 ]

Passo 4

O pivô agora é 1 em (2,2). A gente zera as entradas abaixo dele fazendo:
L3 L3 - 2,L2, L4 L4 - L2
De novo, essas operações não mudam o det. Fica
[llll 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -1 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 1 & 4 ]

Passo 5

O próximo pivô é -1 em (3,3). Para zerar o 1 em (4,3), usamos:
L4 L4 + L3
E obtemos a forma triangular superior
[llll 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -1 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 6 ]

Passo 6

Em matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
1 times 1 times (-1) times 6 ;=;-6
Mas lembrando que, no Passo 2, trocamos duas linhas (o que inverteu o sinal), o determinante da matriz original é
-1 times (-6) ;=;6

Resposta

6

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