Obtenha as integrais abaixo.
integral 1-tg x1+tg x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos para resolver é calcular a integral de uma função que envolve a tangente. Especificamente, precisamos encontrar:
integral 1 - tg x1 + tg x , dx
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, e vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função tangente em termos de seno e cosseno para facilitar a manipulação. Sabemos que:
tg x = sin xcos x
Substituindo isso na integral, temos:
integral 1 - sin xcos x1 + sin xcos x , dx

Passo 3

Para simplificar a fração, vamos multiplicar numerador e denominador por cos x:
integral cos x - sin xcos x + sin x , dx
Agora, a integral fica mais manejável:
integral cos x - sin xcos x + sin x , dx

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais a integração. Seja:
u = cos x + sin x
Então, derivando ambos os lados em relação a x, temos:
du = (-sin x + cos x) , dx
Observamos que o numerador da nossa integral, cos x - sin x, é exatamente du:
cos x - sin x , dx = du

Passo 5

Agora, substituindo u e du na integral original, temos:
integral duu
Essa é uma integral básica que sabemos resolver usando logaritmos.

Passo 6

A integral de 1u em relação a u é:
ln |u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta para termos em função de x:
ln |cos x + sin x| + C

Resposta

A integral é igual a ln |cos x + sin x| + C, onde C é a constante de integração.

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