Obtenha as integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos para resolver é calcular a integral de uma função que envolve a tangente. Especificamente, precisamos encontrar:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, e vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função tangente em termos de seno e cosseno para facilitar a manipulação. Sabemos que:
Substituindo isso na integral, temos:
Passo 3
Para simplificar a fração, vamos multiplicar numerador e denominador por
:
Agora, a integral fica mais manejável:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais a integração. Seja:
Então, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Observamos que o numerador da nossa integral,
, é exatamente
:
Passo 5
Agora, substituindo
e
na integral original, temos:
Essa é uma integral básica que sabemos resolver usando logaritmos.
Passo 6
A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, substituímos
de volta para termos em função de
:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.