Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{z}^{\pi / 2} \int_{0}^{x z} \cos \frac{y}{z} d y d x d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{z}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{xz}\cos\frac{y}{z}\,dy\,dx\,dz.
Vamos integrar primeiro em y, depois em x e, por fim, em z.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{xz}\cos\frac{y}{z}\,dy.
Fazemos a substituição u=\frac{y}{z}, logo dy=z\,du, e quando y=0 temos u=0, e quando y=xz temos u=x. Assim
\int_{0}^{xz}\cos\frac{y}{z}\,dy = z\int_{0}^{x}\cos u\,du = z\bigl[\sin u\bigr]_{0}^{x} = z\sin x.

Passo 3

Substituindo no integral de x:
\int_{z}^{\frac{\pi}{2}}z\sin x\,dx = z\int_{z}^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx = z\bigl[-\cos x\bigr]_{z}^{\frac{\pi}{2}} = z\bigl(0+\cos z\bigr) = z\cos z.
Portanto a integral tripla fica
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}z\cos z\,dz.

Passo 4

Calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}z\cos z\,dz
por partes, escolhendo u=z e dv=\cos z\,dz. Então du=dz e v=\sin z, logo
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}z\cos z\,dz = z\sin z\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin z\,dz.
Isso dá
\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}-0 -\bigl[-\cos z\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} -\bigl(-\cos\frac{\pi}{2}+\cos 0\bigr) = \frac{\pi}{2}-1.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}-1

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